Question

【題目】已知數(shù)列中，，點在直線上，其中.

（1）令，求證數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的通項；

（3）設(shè)、分別為數(shù)列、的前項和是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出，若不存在，則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）；（3）存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.

【解析】

（1）先由題意得到，再由，得到，即可證明結(jié)論成立；

（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出數(shù)列的通項；

（3）把數(shù)列an}、{bn}通項公式代入an+2bn，進而得到Sn+2T的表達式代入Tn，進而推斷當且僅當λ＝2時，數(shù)列是等差數(shù)列．

（1）因為點在直線上，所以，因此

由得

所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；

（2）因為，由得，故，

由（1）得，

所以，即，

所以，，…，，

以上各式相加得：

所以；

（3）存在λ＝2，使數(shù)列是等差數(shù)列．

由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2

∴

又=

∴，

∴當且僅當λ＝2時，數(shù)列是等差數(shù)列．