Question

函數f（x）在定義域R上不是常數函數，且f（x）滿足對任意x∈R，有f（4+x）=f（4-x），f（x+1）=f（x-1），則f（x）是（　　）

A．奇函數但非偶函數

B．偶函數但非奇函數

C．奇函數又是偶函數

D．非奇非偶函數

Answer 1

分析：根據f（4+x）=f（4-x），可以確定函數的對稱性，再根據f（x+1）=f（x-1），可以確定函數的周期性，結合函數的奇偶性的定義判斷即可得到答案．

解答：解：∵f（4+x）=f（4-x），
∴函數f（x）的對稱軸為x=4，
又f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），
∴函數f（x）的周期為T=2，
∴x=0也為函數f（x）的對稱軸，
∴f（x）為偶函數，
又∵f（x）在R上不是常數函數，故f（x）不恒為0，
∴f（x）為偶函數但不是奇函數．
故選B．

點評：本題考查了抽象函數的應用，以及函數奇偶性與對稱性和周期性的關系．函數的奇偶性一個是從定義判斷，也可以從圖象的對稱性上進行判斷．另外要注意既是奇函數又是偶函數的為常數函數f（x）=0．屬于基礎題．