Question

已知函數.
(1) 當時，求函數的單調區間；
(2) 當時，函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，求實數的取值范圍．
(3) 求證：，(其中，是自然對數的底).

Answer 1

(1) 函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為;(2) ．(3)詳見解析.

試題分析：本小題主要通過函數與導數綜合應用問題，具體涉及到用導數來研究函數的單調性等知識內容，考查考生的運算求解能力，推理論證能力，其中重點對導數對函數的描述進行考查，本題是一道難度較高且綜合性較強的壓軸題，也是一道關于數列拆分問題的典型例題，對今后此類問題的求解有很好的導向作用. (1)代入的值，明確函數解析式，并注明函數的定義域，然后利用求導研究函數的單調性；（2）利用構造函數思想，構造，然后利用轉化思想，將問題轉化為只需，下面通過對進行分類討論進行研究函數的單調性，明確最值進而確定的取值范圍.(3)首先利用裂項相消法將不等式的坐標進行拆分和整理，然后借助第二問的結論進行放縮證明不等式.
試題解析：：(1) 當時，，
，
由解得，由解得.
故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.          (4分)
(2) 因函數圖象上的點都在所表示的平面區域內，
則當時，不等式恒成立，即恒成立，、
設()，只需即可．
由，
(i) 當時， ，
當時，，函數在上單調遞減，故成立． 
(ii) 當時，由，因，所以，
① 若，即時，在區間上，，
則函數在上單調遞增，在上無最大值，當時，  ，此時不滿足條件；
② 若，即時，函數在上單調遞減，
在區間上單調遞增，同樣在上無最大值，當時， ，不滿足條件．
(iii) 當時，由，∵，∴，
∴，故函數在上單調遞減，故成立．
綜上所述，實數a的取值范圍是．                             (8分)
(3) 據(2)知當時，在上恒成立
(或另證在區間上恒成立)，
又，
因此



.
.                     (12分)