Question

【題目】已知點P(x0,3)與點Q(x0,4)分別在橢圓=1與拋物線y2=2px(p>0)上.

(1)求拋物線的方程;

(2)設點A(x1,y1),B(x2,y2)(y1≤0,y2≤0)是拋物線上的兩點,∠AQB的角平分線與x軸垂直,求直線AB在y軸上的截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將P(x0,3)代入=1，求得x0，將Q(x0,4)代入y2=2px，即可求得P.

（2）根據條件判定直線QA、QB的斜率關系，求出直線AB的斜率，再設出直線AB的方程，和拋物線方程聯立后化為關于y的一元二次方程，由判別式大于0，且y1y2≥0，求得直線AB在y軸上的截距的取值范圍

由題意可得=1,解得x0=2(-2舍去),

根據點Q(2,4)在拋物線y2=2px上,即有16=4p,解得p=4,

則有拋物線的方程為y2=8x.

(2)由(1)知點Q的坐標為(2,4),由∠AQB的角平分線與x軸垂直,可得QA,QB的傾斜角互補,即QA,QB的斜率互為相反數,

設QA的斜率為k,則QA:y-4=k(x-2),k≠0,與拋物線方程聯立,

可得y2-y-16+=0,方程的解為4,y1,由根與系數的關系得y1+4=,即y1=-4,

同理y2=--4.

又=8x1,=8x2,∴kAB=-1.

設AB:y=-x+b,與拋物線方程聯立可得y2+8y-8b=0,由根與系數的關系得y1+y2=-8,y1y2=-8b,

∵Δ=64+32b>0b>-2,y1·y2=-8b≥0b≤0,

∴-2<b≤0,即直線AB在y軸上的截距的取值范圍是(-2,0].