Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，已知，，于.

（1）求證：；

（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）連接，證明，可得，由，得，由線面垂直的判定可得平面，從而得到；

（2）由平面，平面平面，可得，，兩兩垂直，以為原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

（1）連接，

∵，，是公共邊，

∴，

∴，

∵，∴，

又平面，平面，

∴平面，

又平面，

∴.

（2）由平面，平面平面，

所以，，兩兩垂直，以為原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示

所以，，，

則，，，，，.

設平面的法向量為，

則，即，令，則，

又平面的一個法向量為，

設二面角所成的平面角為，

則，

顯然二面角是銳角，故二面角的余弦值為.