Question

【題目】已知函數．

Ⅰ若函數在區間上為增函數，求a的取值范圍；

Ⅱ若對任意恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

(1)g(x)的導數導數大于或等于0恒成立，轉化成求不等式恒成立問題

(2) 求不等式恒成立問題轉化成求最值問題，利用導數知識判斷函數的單調性，從而求最值。

(1)由題意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1.

∵函數g(x)在區間[e2，＋∞)上為增函數，∴當x∈[e2，＋∞)時，g′(x)≥0，

即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立．∴a≥－1－ln x.

令h(x)＝－ln x－1，∴a≥h(x)max，

當x∈[e2，＋∞)時，ln x∈[2，＋∞)，

∴h(x)∈(－∞，－3]，∴a≥－3，

即實數a的取值范圍是[－3，＋∞)．

(2)∵2f(x)≥－x2＋mx－3，即mx≤2xln x＋x2＋3，

又x＞0，∴m≤在x∈(0，＋∞)上恒成立．

記t(x)＝＝2ln x＋x＋.∴m≤t(x)min.

∵t′(x)＝＋1－＝＝，

令t′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍去)．

當x∈(0,1)時，t′(x)＜0，函數t(x)在(0,1)上單調遞減；

當x∈(1，＋∞)時，t′(x)＞0，函數t(x)在(1，＋∞)上單調遞增，∴t(x)min＝t(1)＝4.

∴m≤t(x)min＝4，即m的最大值為4.