Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且，拋物線的通徑與橢圓的右通徑在同一直線上.

（1）求橢圓與拋物線的標準方程；

（2）過拋物線焦點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點，為橢圓的左焦點，求.

Answer 1

【答案】（1）橢圓，拋物線；（2）.

【解析】

（1）根據題意求出、的值，進而可求得的值，由此可求得橢圓的標準方程，設拋物線的標準方程為，根據拋物線的通徑與橢圓的右通徑在同一直線上求出的值，由此可求得拋物線的標準方程；

（2）設點、，可知直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，利用三角形的面積公式結合韋達定理可求得的面積.

（1）由題意可得，可得，則，

所以，橢圓的標準方程為.

設拋物線的標準方程為，

由于拋物線的通徑與橢圓的右通徑在同一直線上，則，，

因此，拋物線的標準方程為；

（2）設點、，可知直線的方程為，

將直線的方程與橢圓方程聯立，

消去得，，

由韋達定理得，，

因此，.