Question

【題目】為增強市民的節能環保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者．從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區間是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．

（Ⅰ）求圖中x的值并根據頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[35，40）歲的人數；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場的宣傳活動，再從這20名中采用簡單隨機抽樣方法選取3名志愿者擔任主要負責人．記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】解：（I）∵小矩形的面積等于頻率，而頻率之和等于1．
∴（0.07+x+0.04+0.02+0.01）×5=1，
解得x=0.06．
500名志愿者中，年齡在[35，40）歲的人數為0.06×5×500=150（人）．
（II）用分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取20名，
則其中年齡“低于35歲”的人有12名，
“年齡不低于35歲”的人有8名．
故X的可能取值為0，1，2，3，P（X=0）= = ， = ，
， = ．
故X的分布列為

X	0	1	2	3
P

∴EX= = =
【解析】（I）根據小矩形的面積等于頻率，而頻率之和等于1．即可得出x，再用頻率×總體容量即可．（II）分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取20名；則其中年齡“低于35歲”的人有20×（0.01+0.04+0.07）×5=12名，“年齡不低于35歲”的人有8名．X的可能取值為0，1，2，3，再利用超幾何分布即可得出，再利用數學期望的計算公式即可得出．
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．