Question

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）
現有變換公式：可把平面直角坐標系上的一點變換到這一平面上的一點.
（1）若橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標準方程，并求出其兩個焦點、經變換公式變換后得到的點和的坐標；
（2） 若曲線上一點經變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點. 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標；
（3） 在（2）的基礎上，試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動點的存在情況和個數.

Answer 1

略

（1）設橢圓的標準方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①. 又由條件得…②，故由①、②可解得，. 即橢圓的標準方程為. 且橢圓兩個焦點的坐標分別為和. 對于變換：，當時，可得 設和分別是由和的坐標由變換公式變換得到.于是，，即的坐標為； 又即的坐標為. （2）設是橢圓在變換下的不動點，則當時， 有，由點，即，得：

      ，因而橢圓的不動點共有兩個，分別為和.
（3）由（2）可知，曲線在變換下的不動點需滿足.
情形一：據題意，不妨設橢圓方程為（），
則有.
因為，所以恒成立，因此橢圓在變換下的不動點必定存在，且一定有2個不動點.
情形二：設雙曲線方程為（），
則有,
因為，故當時，方程無解；
當時，故要使不動點存在，則需，
因此，當且僅當時，雙曲線在變換下一定有2個不動點.否則不存在不動點.
進一步分類可知，
(i) 當，時，.
即雙曲線的焦點在軸上時，需滿足時，雙曲線在變換下一定有2個不動點.否則不存在不動點.
(ii) 當，時，.
即雙曲線的焦點在軸上時，需滿足時，雙曲線在變換下一定有2個不動點.否則不存在不動點.