Question

對于拋物線y²=2px(p>0),F為其焦點,過點F的直線l與拋物線交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)兩點.
(1)求弦AB的長(用x₁、x₂、p表示);
(2)當AB⊥x軸時,求AB的長;
(3)判斷以AB為直徑的圓與拋物線的準線l的位置關系.

Answer 1

1、|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p.
2、|AB|=2p,又稱為拋物線的通徑.
3、以AB為直徑的圓與拋物線的準線l相切.

(1)由定義知,|AF|、|BF|分別等于點A、B到準線x=-的距離,
∴|AF|=x₁+,|BF|=x₂+,則|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p.
(2)當AB⊥x軸時,其方程為x=p,代入y²=2px,得y₁=p,y₂=-p,∴|AB|=2p,又稱為拋物線的通徑.
(3)如右圖,設AB中點為M,分別過點A、B、M作準線的垂線,垂足為A₁、B₁、N,

∵|MN|=(|A₁A|+|B₁B|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,∴以AB為直徑的圓與拋物線的準線l相切.