Question

（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐中，，，，，， 點，分別在棱上，且，

（Ⅰ）求證：平面PAC
（Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的正弦值；
（Ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由．

Answer 1

(1)要證明線面垂直，一般可以通過線線垂直來證明，也可以通過面面垂直來證明，該試題的關鍵是證明AC⊥BC （2）
(3) 存在點E使得二面角是直二面角

試題分析：解：（法1）（Ⅰ）∵，，，∴PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP為等腰直角三角形，
∴，∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴與平面所成的角的大小.
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，
這時，故存在點E使得二面角是直二面角.
（法2）如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標系，設，
由已知可得，，，.
（Ⅰ）∵，，∴，
∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴E為PC的中點，
∴，，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵，
∴，
∴與平面所成的角的大小。
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一點E，
使得AE⊥PC，這時，
故存在點E使得二面角是直二面角.
點評：解決的關鍵是利用已知中的線線垂直來證明線面垂直，同時得到線面角的大小，結合三角形求解，同時要結合三垂線定理得到二面角的大小，屬于基礎題。