Question

（本小題滿分10分）如圖，在中，,平分交于點，點在上，．

（1）求證：是△的外接圓的切線；
（2）若，求的長．

Answer 1

（1）見解析；（2）EC=．

本試題主要是考查了角平分線的性質，以及直線與圓的位置關系的運用。利用線線平行的判定定理得到平行的判定，并運用勾股定理得到結論。
解（1）取BD的中點O，連接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．………………3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圓的切線．  5分
（2）設⊙O的半徑為r，則在△AOE中，
，即解得,      7分
∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°．∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=．…………10分