Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[﹣2，2]時，函數(shù)f（x）的最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，f（x）=（x﹣2）|x+1|，

當(dāng)x≤﹣1時，f（x）=﹣（x﹣2）（x+1）=﹣x2+x+2，

此時函數(shù)為增函數(shù)；

當(dāng)x＞﹣1時，f（x）=（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，

此時函數(shù)在（﹣1， ]上為減函數(shù)，在[ ，+∞）上為增函數(shù)；

綜上可得：當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1]，[ ，+∞）

（2）解：當(dāng)x∈[﹣2，2]時，函數(shù)f（x）= ，

①當(dāng)﹣a≤﹣1，即a≥﹣1時，

若x∈[﹣2，1]，則f（x）≤0，

若x∈（1，2]，則f（x）＞0，且為增函數(shù)，

故g（a）=f（2）=2+a；

②當(dāng)﹣a≥2且 ≤2，即﹣3≤a≤﹣2時，

g（a）=f（ ）=（ ）2，

③當(dāng)﹣a≥2且 ＞2，即a＜﹣3時，

g（a）=f（2）=﹣2﹣a，

④當(dāng)1＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜﹣1時，

g（a）=max{f（ ），f（2）}=max{（ ）2，2+a}=

綜上可得：g（a）=

【解析】（1）a=1時，f（x）=（x﹣2）|x+1|，分段討論可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)x∈[﹣2，2]時，函數(shù)f（x）= ，分段討論可得函數(shù)f（x）的最大值g（a）的表達(dá)式．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的最值及其幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．