Question

（本小題滿分15分）
如圖，橢圓的中心在原點，焦點在軸上，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓短軸的一個端點，過的直線與橢圓交于兩點，的面積為，的周長為．

（1）求橢圓的方程；
（2）設點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ） 由題意知：，解得
∴ 橢圓的方程為                             ………  6分
（Ⅱ）假設存在橢圓上的一點，使得直線與以為圓心的圓相切，
則 到直線的距離相等,
：     
：                        ………  8分
          ………  9分
化簡整理得：                ………  10分
∵ 點在橢圓上，∴
解得： 或 （舍）                     …… 13分
時，，，
∴ 橢圓上存在點，其坐標為或，使得直線與以為圓心的圓相切                 ……… 15分

略