Question

【題目】如圖，在直角梯形中， 點是邊的中點，將沿折起，使平面平面,連接得到如圖所示的幾何體.

（1）求證; 平面；

（2）若二面角的平面角的正切值為求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：（I）由平面與名垂直的性質定理可得⊥平面. 由折疊前后均有⊥， ∩,可得⊥平面；(Ⅱ) 由（Ⅰ）可得二面角的平面角為∠，又依題意，可得，依次求得.，以下由兩種解法：1.建立空間直角坐標系，求得相應點的坐標，求得平面的法向量和平面的法向量，則問題可求：2.利用相關的立體幾何知識，證明二面角的平面角為，然后利用面幾何知識求得二面角的余弦值為.

試題解析：

(Ⅰ) 因為平面⊥平面，平面平面，

又⊥，所以⊥平面.

因為平面，所以⊥.

又因為折疊前后均有⊥， ∩,

所以⊥平面.

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知⊥平面，所以二面角的平面角為∠.

又⊥平面， 平面，所以⊥.

依題意.

因為，所以.

設，則.

依題意△～△，所以，即.

解得，故.

法1：如圖所示，建立空間直角坐標系，則, , ，

， ，

所以， .

由（Ⅰ）知平面的法向量.

設平面的法向量

由得

令，得,

所以.

所以.

由圖可知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

法2 ：因為⊥平面，

過點作// 交于，

則⊥平面.

因為平面，

所以⊥.

過點作⊥于，連接，

所以⊥平面，因此⊥.

所以二面角的平面角為.

由平面幾何知識求得

， ，

所以.

所以cos∠=.

所以二面角的余弦值為.