Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為[﹣1，5]，部分對應值如表，

x	﹣1	0	4
f（x）	1	2	2

f（x）的導函數y=f′（x）的圖象（該圖象關于（2，0）中心對稱） 如圖所示．
下列關于f（x）的命題：
①函數f（x）的極大值點為 0與4；
②函數f（x）在[0，2]上是減函數；
③函數y=f（x）﹣a零點的個數可能為0、1、2、3、4個；
④如果當時x∈[﹣1，t]，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為5；．
⑤函數f（x）的圖象在a=1是上凸的
其中一定正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】①②④解：對于①，∵由導函數的圖象知，函數f（x）的最大值點為0與4，故①正確；
對于②，由已知中y=f′（x）的圖象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是減函數，即②正確；
對于③，由導函數y=f′（x）的圖象可知，函數在[﹣1，0]，[2，4]上為增函數，
則[0，2]，[4，5]上為減函數，且函數在x=0和x=4取得極大值f（0）=2，f（4）=2，
在x=2取得極小值f（2）=0，則函數f（x）的大致圖象如圖：則函數y=f（x）與直線y=a的圖象有四個交點可能為0、1、2、4個，即③錯誤
對于④，由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數據可得當x=0或x=4時，函數取最大值2，若x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即④正確；
對于⑤，根據函數f（x）的大致圖象，判斷⑤錯誤；
所以答案是：①②④．

【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應用的相關知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能正確解答此題．