Question

（本小題滿分14分）給定函數(shù)
（1）試求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）已知各項均為負的數(shù)列滿足，求證：；
（3）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求證：。

Answer 1

（1） 的定義域為………1分 （此處不寫定義域，結(jié)果正確不扣分） 
…………3分   
由得或
單調(diào)減區(qū)間為和………5分（答案寫成（0,2）扣1分；不寫區(qū)間形式扣1分）
（2）由已知可得，    當時，  
兩式相減得
∴或
當時，，若，則這與題設(shè)矛盾
∴    ∴                      ……8分
于是，待證不等式即為。
為此，我們考慮證明不等式
令則，
再令，    由知
∴當時，單調(diào)遞增   ∴  于是
即   　　　 ①
令，   由知
∴當時，單調(diào)遞增   ∴  于是
即　　　　 ②
由①、②可知              ………………10分
所以，，即   ………………11分
（3）由（2）可知  則 ……12分
在中令n=1,2,3…………..2010，2011并將各式相加得
 ……13分
即      ………………14分

解析