Question

【題目】已知右焦點(diǎn)為的橢圓（）過(guò)點(diǎn)，且橢圓關(guān)于

直線對(duì)稱的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn) (異于橢圓的左、右頂點(diǎn))，線段的中點(diǎn)為.點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】試題分析：

（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)可得，有橢圓關(guān)于直線對(duì)稱的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)可得，據(jù)此可得橢圓方程為.

（2）設(shè)橢圓的y軸截距方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，則，，，分類討論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，由均值不等式的結(jié)論可得，且.據(jù)此可得的取值范圍是.

試題解析：

（1）∵橢圓過(guò)點(diǎn).

∴，①

∵橢圓關(guān)于直線對(duì)稱的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，

∴，

∴，②

由①②得，，

∴橢圓的方程為.

（2）依題意，直線過(guò)點(diǎn)，且斜率不為零，

∴可設(shè)其方程為.

聯(lián)立方程組消去并整理，

得.

設(shè)，，，

則.

∴，，∴.

①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，，

∵，∴，

∴，且.

綜合①②，可知直線的斜率的取值范圍是.