Question

已知a＞0，命題p：函數y=a^x在R上單調遞減，q：設函數y=

2x-2a(x≥2a) 2a(x＜2a)

，函數y＞1恒成立，若p和q只有一個為真命題，則a的取值范圍

0＜a≤

1

2

或a≥1

．

Answer 1

分析：函數y=a^x在R上單調遞減可得0＜a＜1；由函數y=

2x-2a(x≥2a) 2a(x＜2a)

，y＞1恒成立可得2a＞1，可求a的范圍，由p與q一真一假可知p真q假，p假q真兩種情況進行求解

解答：解：∵函數y=a^x在R上單調遞減
∴0＜a＜1
∵函數y=

2x-2a(x≥2a) 2a(x＜2a)

且函數y＞1恒成立
y_min＞1，
又y_min=2a，
∴2a＞1，
∴q為真命題時a＞

1

2

∵p與q一真一假．
∴若p真q假，則0＜a≤

1

2

；
若p假q真，則a≥1．
故a的取值范圍為0＜a≤

1

2

或a≥1．

點評：本題主要考查了指數函數的單調性的應用，函數的恒成立求解參數的方法一般是轉化函數的最值的求解，復合命題的真假判斷的應用．