Question

已知a＞0，命題p：?x＞0，x+

a

x

≥2恒成立；命題q：?k∈R，直線kx-y+2=0與橢圓x²+

y2

a2

=1恒有公共點．問：是否存在正實數a，使得p∨q為真命題，p∧q為假命題？若存在，請求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是復合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復合命題的簡單命題的真假，再根據真值表進行判斷．

解答：解：∵命題p：?x＞0，x+

a

x

≥2恒成立
∴要x+

a

x

≥2恒成立，應有2√a≥2
∴a的取值范圍：a≥1
又∵命題q：?k∈R，直線kx-y+2=0與橢圓x²+

y2

a2

=1恒有公共點
∵對任意k，直線kx-y+2=0恒過定點（0，2）
∴要使直線kx-y+2=0與橢圓x²+

y2

a2

=1有公共點，（0，2）在橢圓內部
∴應有，

22

a2

+02≤1，
∴a的取值范圍：a≥2
∵若p∨q為真命題，p∧q為假命題
∴p、q一真一假，
①p真q假，那么a的取值范圍：

a≥1 a＜2 a＞0

②p假q真，那么a的取值范圍：

a＜1 a≥2 a＞0

，
解得出a的取值范圍：1≤a＜2
綜上，存在1≤a＜2，使得p∨q為真命題，p∧q為假命題

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假判定，屬于基礎題目