Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是以為中心的菱形， 底面， ， 為上一點，且.

（1）證明： 平面；

（2）若，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）因為底面，所以有，因此欲證平面，只要證，而這一點可通過連結，利用菱形的性質及勾股定理解決.

（2）欲求四棱錐的體積.，必須先求出,連結，設，在利用余弦定理求出，由三個直角三角形，依據勾股定理建立關于的方程即可.

解：（1）如圖，因為菱形， 為菱形中心，連結，則，因，故

又因為，且，在中

所以，故

又底面，所以,從而與平面內兩條相交直線都垂直，所以平面

（2）解：由（1）可知，

設，由底面知， 為直角三角形，故

由也是直角三角形，故

連結，在中,

由已知，故為直角三角形，則

即，得， （舍去），即

此時

所以四棱錐的體積