Question

為了了解《中華人民共和國道路交通安全法》在學生中的普及情況，調查部門組織了一次知識競賽，現隨機抽取了某校20名學生的測試成績，得到如圖所示莖葉圖：
（1）若測試成績不低于90分，則稱為“優秀成績”，求從這20人中隨機選取3人，至多有1人是“優秀成績”的概率；
（2）以這20人的樣本數據來估計整個學校的總體數據，若從該校（人數很多）任選3人，記ξ表示抽到“優秀成績”學生的人數，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）從這20人中隨機選取3人共有

C

3 20

種不同情況，其中至多有1人是“優秀成績”包括沒有“優秀成績”和有1個“優秀成績”，利用排列組合公式，求出滿足條件的情況個數，代入古典概型公式，可得答案．
（2）抽到“優秀成績”學生的概率P=

1

5

，而ξ可以取0，1，2，3，利用獨立事件概率公式，可求出ξ的分布列，代入數學期望公式，可得答案．

解答：解：（1）由莖葉圖，可得20名學生的測試成績中“優秀成績”有4人，
設“從這20人中隨機選取3人，至多有1人是“優秀成績””為事件A
則P（A）=

C 3 16

C 3 20

+

C 2 16 • C 1 4

C 3 20

=

28

57

+

24

57

=

52

57

（2）由樣本估計總體可知抽到“優秀成績”學生的概率P=

1

5

ξ可以取0，1，2，3
則P（ξ=0）=

C

0 3

(

4

5

)3=

64

125

P（ξ=1）=

C

1 3

(

4

5

)2•(

1

5

)=

48

125

P（ξ=2）=

C

2 3

(

4

5

)•(

1

5

)2=

12

125

P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

5

)3=

1

125

ξ	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	1 125

∴E（ξ）=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

75

125

=

3

5

點評：本題考查的知識點是離散型隨機變量的期望，莖葉圖，古典概型，是概率與統計的綜合應用，難度中檔．