Question

【題目】某禮品店要制作一批長方體包裝盒，材料是邊長為的正方形紙板．如圖所示，先在其中相鄰兩個角處各切去一個邊長是的正方形，然后在余下兩個角處各切去一個長、寬分別為、的矩形，再將剩余部分沿圖中的虛線折起，做成一個有蓋的長方體包裝盒．

(1)求包裝盒的容積關于的函數表達式，并求函數的定義域；

(2)當為多少時，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

【答案】（1） ，函數的定義域為．（2）切去的正方形邊長時，包裝盒的容積最大，最大容積是．

【解析】試題分析：（1）先用x表示長寬高，再根據長方體體積公式列函數解析式，最后根據實際意義確定定義域（2）求導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，確定單調性，最后根據單調性確定函數最值

試題解析：（1）因為包裝盒高，底面矩形的長為，寬為，

所以鐵皮箱的體積 ．

函數的定義域為．

（2）由（1）得， ，

令，解得．

當時， ，函數單調遞增；

當時， ，函數單調遞減．

所以函數在處取得極大值，這個極大值就是函數的最大值．

又．

答：切去的正方形邊長時，包裝盒的容積最大，最大容積是．