Question

設函數F(x )=x²+aln(x+1)
(I)若函數y=f(x)在區間[1,+∞）上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
(II)若函數y=f(x)有兩個極值點x₁,x₂且，求證:.

Answer 1

（Ⅰ）； (II)見解析.

試題分析：（Ⅰ）利用導數，先對函數進行求導，讓，在[1,+∞）上是恒成立的，求解可得a的取值范圍；(II)令，依題意方程在區間有兩個不等的實根，記，則有，得，然后找的表達式，利用導數求此函數單調性，可得結論.
試題解析：（Ⅰ）在區間上恒成立，
即區間上恒成立，       1分
.      3分
經檢驗， 當時，，時，，
所以滿足題意的a的取值范圍為.      4分
（Ⅱ）函數的定義域，，依題意方程在區間有兩個不等的實根，記，則有，得.       6分
法一：，，，
，令，    8分
，，,
因為，存在，使得，

	-	0	+

，，，所以函數在為減函數，   10分
即        12分
法二:6分段后面還有如下證法，可以參照酌情給分.
【證法2】為方程的解，所以,
∵，，，∴,
先證，即證（）,
在區間內，，內，所以為極小值，,
即，∴成立；       8分
再證，即證,
,
令，       10分
,
,
，，,
∴，在為增函數．
 
．
綜上可得成立．         12分