Question

（本小題滿分15分）已知函數．
（1）當時，求在最小值；
（2）若存在單調遞減區間，求的取值范圍；
（3）求證：（）．

Answer 1

(1)；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：(1)由求導判的函數在上單調遞增，可求函數的最小值；（2）因存在單調遞減區間，所以有正數解，再分類討論對類一元二次函數存在正解進行討論.（3）利用數學歸納法進行證明即可.
試題解析：（1），定義域為．
，                       
在上是增函數．
.
（2）  因為
因為若存在單調遞減區間，所以有正數解.
即有的解 
①      當時，明顯成立 .
②當時，開口向下的拋物線，總有的解；
③當時，開口向上的拋物線，
即方程有正根.
因為，
所以方程有兩正根.
當時，；                       ……… 4分
，解得．                             
綜合①②③知：．                                      ……… 9分
（3）（法一）根據（Ⅰ）的結論，當時，，即．
令，則有，   ．
，
．                                ……… 15分
(法二)當時，．
，，即時命題成立．
設當時，命題成立，即．
時，．
根據（Ⅰ）的結論，當時，，即．
令，則有，
則有，即時命題也成立．
因此，由數學歸納法可知不等式成立．                           ……… 15分