Question

已知兩點F₁（0，-2），F₂（0，2），且點P到這兩點的距離和等于6．
（1）求以F₁，F₂為焦點，且過點P的橢圓方程；
（2）設點P（0，3），F₁，F₂，P關于直線y=x的對稱點分別為P'，

F

′ 1

，F2′，求以

F

′ 1

，F2′為焦點，且過點P′的雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）根據題意設出所求的橢圓的標準方程，然后橢圓定義，得2a，c，再求出b．最后寫出橢圓標準方程．
（2）根據三個已知點的坐標，求出關于直線y=x的對稱點分別為點，設出所求雙曲線標準方程，代入求解即可．

解答：解：（1）設橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由橢圓定義，得2a=|PF₁|+|PF₂|=6，c=2，所以，b²=a²-c²=5．
所以，橢圓的方程為

y2

9

+

x2

5

=1．…（5分）
（2）因為點P，F₁，F₂關于直線y=x的對稱點分別為P'（3，0），F1′(-2，0)，F2′(2，0)，
設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由雙曲線定義，得2a=||P'F'₁|-|P'F'₂||=4，c=

14

，
所以，b²=c²-a²=10．
所以，雙曲線的方程為 

x2

4

-

y2

10

=1．…（10分）

點評：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質等基礎知識和基本運算能力．屬于中檔題．