Question

已知兩點F₁（0，-2），F₂（0，2），且點P到這兩點的距離和等于6．
（1）求以F₁，F₂為焦點，且過點P的橢圓方程；
（2）設點P（0，3），F₁，F₂，P關于直線y=x的對稱點分別為P'，

F

′1

，F2′，求以

F

′1

，F2′為焦點，且過點P′的雙曲線方程．

Answer 1

（1）設橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由橢圓定義，得2a=|PF₁|+|PF₂|=6，c=2，所以，b²=a²-c²=5．
所以，橢圓的方程為

y2

9

+

x2

5

=1．…（5分）
（2）因為點P，F₁，F₂關于直線y=x的對稱點分別為P'（3，0），F1′(-2，0)，F2′(2，0)，
設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由雙曲線定義，得2a=||P'F'₁|-|P'F'₂||=4，c=

14

，
所以，b²=c²-a²=10．
所以，雙曲線的方程為 

x2

4

-

y2

10

=1．…（10分）