Question

關于函數f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命題：
①函數y=f（x）的表達式可改寫為y=4cos（2x-

π

6

）；
②函數y=f（x）的最小正周期為2π；
③函數y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱；
④函數 y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

對稱；
⑤若f（x₁）=f（x₂）=0，則必有：x₁-x₂=

kπ

2

，k∈Z．
其中正確的是

①③⑤

（填序號，多填漏填均不給分）

Answer 1

分析：對①利用誘導公式sin（x+

π

2

）=cosx 驗證即可；
根據f（x）=4sin（2x+

π

3

）的最小正周期是π判斷②是否正確；
令x=-

π

6

，計算2x+

π

3

的值來驗證③④是否正確；
根據正弦函數的圖象特征判斷⑤是否正確．

解答：解：∵4cos（2x-

π

6

）=4sin（

π

2

+2x-

π

6

）=4sin（2x+

π

3

），∴①√；
∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），的最小正周期是π，∴②×；
∵x=-

π

6

，2x+

π

3

=0，∴點（-

π

6

，0）是對稱中心，∴③√；
∵x=-

π

6

，2x+

π

3

=0，∴線x=-

π

6

不是對稱軸，∴④×；
∵函數f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），的最小正周期是π，∴|x₁-x₂|最小為

π

2

，∴⑤√；
故答案是①③⑤

點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質，它的最小正周期T=

2π

|ω|

；值域是[-A，A]，對稱軸方程x，滿足ωx+φ=kπ+

π

2

；對稱中心橫坐標x，滿足ωx+φ=kπ，k∈Z．