Question

.已知a，b∈R，若關(guān)于x的方程x²-ax+b=0的實(shí)根x₁和x₂滿(mǎn)足-1≤x₁≤1，1≤x₂≤2，則在平面直角坐標(biāo)系aOb中，點(diǎn)（a，b）所表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P到曲線(xiàn)（a+3）²+（b-2）²=1上的點(diǎn)Q的距離|PQ|的最小值為（ ）
A．3-1
B．2-1
C．3+1
D．2+1

Answer 1

【答案】分析：先由根的分布得出關(guān)于a，b的方程組，作出方程組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，即點(diǎn)（a，b）所表示的區(qū)域，點(diǎn)P到曲線(xiàn)（a+3）²+（b-2）²=1上的點(diǎn)Q的距離|PQ|的最小值即區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)（-3，2）的距離的最小值．由圖象判斷找出兩點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)，用兩點(diǎn)距離公式求出即可．
解答：解：由題意可得其對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖所示陰影部分，曲線(xiàn)（a+3）²+（b-2）²=1的圓心為（-3，2），此點(diǎn)在直線(xiàn)a+b+1=0上，由于兩直線(xiàn)a+b+1=0與1-a+b=0垂直，故圓心與區(qū)域邊界處的點(diǎn)（0，-1）距離是區(qū)域中的點(diǎn)與圓心的距離的最小值，其長(zhǎng)度為3，故點(diǎn)（a，b）所表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P到曲線(xiàn)（a+3）²+（b-2）²=1上的點(diǎn)Q的距離|PQ|的最小值為3-1，
故選A．


點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃，是線(xiàn)性規(guī)劃求最值的一個(gè)變形題---兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離，動(dòng)中有靜，根據(jù)圓的幾何特征，將兩動(dòng)點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)之間的距離．這是數(shù)學(xué)中常用的轉(zhuǎn)化方法．