Question

【題目】設函數f(x)定義在區間(0，＋∞)上，且f(1)＝0，導函數f′(x)＝，函數g(x)＝f(x)＋f′(x)．

(1)求函數g(x)的最小值；

(2)是否存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜對任意x＞0恒成立？若存在，請求出x0的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）滿足條件的x0不存在，理由見解析。

【解析】

（I）根據題意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），根據g′（x）得出函數g（x）的單調區間和最小值；（2） 假設存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，轉化為求函數的值域，得矛盾．

(1)由題設，易知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋.

∴g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1.

當x∈(0,1)時，g′(x)＜0，故區間(0,1)是函數g(x)的單調遞減區間；

當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＞0，故區間(1，＋∞)是函數g(x)的單調遞增區間．

∴函數g(x)的最小值為g(1)＝1.

(2)滿足條件的x0不存在．理由如下：

假設存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜對任意x＞0恒成立．

由(1)知函數g(x)的最小值為g(1)＝1.

∴當x≥1時，函數g(x)的值域為[1，＋∞)，

從而可取一個x1＞1，使g(x1)≥g(x0)＋1，

即g(x1)－g(x0)≥1 故|g(x1)－g(x0)|≥1＞，與假設矛盾．

∴不存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜對任意x＞0恒成立．