Question

【題目】設函數f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，證明：
（1）f（x）≥1﹣x+x2
（2）＜f（x）≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：因為f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，

且1﹣x+x2﹣x3= ，

所以 ≤ ，

所以1﹣x+x2﹣x3≤ ，

即f（x）≥1﹣x+x2；

（2）

證明：因為0≤x≤1，所以x3≤x，

所以f（x）=x3+ ≤x+ =x+ ﹣ + = + ≤ ；

由（1）得，f（x）≥1﹣x+x2= + ≥ ，

且f（ ）= + = ＞ ，

所以f（x）＞ ；

綜上， ＜f（x）≤ ．

【解析】（1）根據題意，1﹣x+x2﹣x3= ，利用放縮法得 ≤ ，即可證明結論成立；（2）利用0≤x≤1時x3≤x，證明f（x）≤ ，再利用配方法證明f（x）≥ ，結合函數的最小值得出f（x）＞ ，即證結論成立．本題主要考查了函數的單調性與最值，分段函數等基礎知識，也考查了推理與論證，分析問題與解決問題的能力，是綜合性題目．