Question

【題目】如圖，設拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線上的點A到y軸的距離等于|AF|﹣1，

（1）求p的值；
（2）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M，求M的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得，拋物線上點A到焦點F的距離等于A到直線x=﹣1的距離，

由拋物線定義得， ，即p=2

（2）

解：由（1）得，拋物線方程為y2=4x，F（1，0），可設（t2，2t），t≠0，t≠±1，

∵AF不垂直y軸，

∴設直線AF：x=sy+1（s≠0），

聯立 ，得y2﹣4sy﹣4=0．

y1y2=﹣4，

∴B ，

又直線AB的斜率為 ，故直線FN的斜率為 ，

從而得FN： ，直線BN：y=﹣ ，

則N（ ），

設M（m，0），由A、M、N三點共線，得 ，

于是m= = ，得m＜0或m＞2．

經檢驗，m＜0或m＞2滿足題意．

∴點M的橫坐標的取值范圍為（﹣∞，0）∪（2，+∞）．

【解析】（1）利用拋物線的性質和已知條件求出拋物線方程，進一步求得p值；
（2）設出直線AF的方程，與拋物線聯立，求出B的坐標，求出直線AB，FN的斜率，從而求出直線BN的方程，根據A、M、N三點共線，可求出M的橫坐標的表達式，從而求出m的取值范圍．
本題考查拋物線的簡單性質，考查直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查數學轉化思想方法，屬中檔題．