Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，離心率為，軸上一點的坐標為．

（Ⅰ）求該橢圓的方程；

（Ⅱ）若對于直線，橢圓上總存在不同的兩點與關于直線對稱，且,求

實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知易得，；（Ⅱ）由已知當橢圓上總存在不同的兩點與關于直線對稱時，取弦中點，由中點弦問題可知，又，可得，由在橢圓內，故，即，又聯立，得，，得，所以的取值范圍為.

試題解析：（Ⅰ）由題意知：，，所以，．

所以所求的橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意設，，直線方程為：．

聯立消整理可得：，

由，解得

，，

設直線之中點為，則，

由點在直線上得：，

又點在直線上，，所以……①

又，，

∴

解得：……②

綜合①②，的取值范圍為．

（法二：請酌情給分）

由題意設，，直線的中點為，

則，

將，兩點分別代入橢圓方程，

并聯立，兩式相減得：，

即，

又，所以，，

所以，的中點的軌跡方程為：，

由得：，即，

又∵在橢圓內，∴，即，

即，①

另一方面：易知：直線的方程；

聯立，消去并整理得：，

∴，，

又，，

∴

解得：，②

綜合①②：的取值范圍為