Question

如圖，拋物線的焦點到準線的距離與橢圓的長半軸相等，設橢圓的右頂點為A，C₁，C₂在第一象限的交點為B，O為坐標原點，且△OAB的面積為
（1）求橢圓C₂的標準方程；
（2）過點A作直線l交C₁于C，D兩點，射線OC，OD分別交C₂于E，F兩點．
（I）求證：O點在以EF為直徑的圓的內部；
（II）記△OEF，△OCD的面積分別為S₁，S₂，問是否存在直線l，使得S₂=3S₁？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）p=2，得橢圓的長半軸a=2，由，知．代入拋物線能求出橢圓C₂方程．
（2）（I）設直線l的方程為：x=my+2，由，得y²-4my-8=0，利用韋達定理和向量的數量積導出∠COD＞90°，由此能證明O點在以EF為直徑的圓的內部．
（II），直線OC的斜率為，故直線OC的方程為．由此能推導出不存在直線l使得S₂=3S₁
解答：解：（1）p=2，得橢圓的長半軸a=2，
∵，
∴．
代入拋物線求得，
∴橢圓C₂方程為．
（2）（I）設直線l的方程為：x=my+2，
由，得y²-4my-8=0，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
∴x₁x₂=4，
∴，
∴∠COD＞90°，
又∵∠EOF=∠COD，
∴∠EOF＞90°，
∴O點在以EF為直徑的圓的內部．
（II），
直線OC的斜率為，
∴直線OC的方程為．
由，
得，
∴，
∴，
∵m∈R，∴，
∴不存在直線l使得S₂=3S₁．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點在圓的內部的證明，探索滿足條件的直線方程是否存在．綜合性強，難度大，對數學思維的要求較高．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理合理運用．