Question

(本小題12分)

如圖,拋物線的焦點到準線的距離與橢圓的長半軸相等,設橢圓的右頂點為在第一象限的交點為為坐標原點,且的面積為

(1)求橢圓的標準方程;

(2)過點作直線交于兩點,射線分別交于兩點.

(I)求證:點在以為直徑的圓的內部;

(II)記的面積分別為,問是否存在直線,使得?請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) (I)見解析；(II) 不存在直線使得

【解析】(I)由拋物線方程可知橢圓的長半軸長a=2,再由,從而可求出B的坐標，代入橢圓方程可求出b²,從而求出橢圓的方程.

(2)(I) 證明點在以為直徑的圓的內部，需證，

因為只需證明即證,然后直線方程與橢圓方程聯立，借助韋達定理來解決即可.

解;(1),得橢圓的長半軸

.代入拋物線求得

橢圓方程為

(2)(I)設直線的方程為:,由得

設

又點在以為直徑的圓的內部

(II),直線的斜率為

直線的方程為.由得

,

不存在直線使得