Question

設函數f(x)=acos2ωx+

3

acosωxsinωx+b(0＜ω＜2，a≠0)，x=

π

6

是其函數圖象的一條對稱軸．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（x）的定義域為[-

π

3

，

π

3

]，值域為[-1，5]，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為 b+

a

2

+acos（2ωx-

π

3

），再由 x=

π

6

是其函數圖象的一條對稱軸，可得 2ω•

π

6

-

π

3

=kπ，k∈z，由此求得ω 的值．
（Ⅱ）由（1）可得 f（x）=b+

a

2

+acos（2x-

π

3

），再根據x∈[-

π

3

，

π

3

]，可得cos（2x-

π

3

）∈[-1，1]．再由函數f（x）的值域為[-1，5]，可得 ①

a＞0 b+ a 2 =5 b- a 2 =-1

，或②

a＜0 b+ a 2 =-1 b- a 2 =5

，由此求得a、b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f(x)=acos2ωx+

3

acosωxsinωx+b(0＜ω＜2，a≠0)=

a

2

+

a

2

cos（2ωx）+

3

2

asin（2ωx）=b+

a

2

+acos（2ωx-

π

3

），
再由 x=

π

6

是其函數圖象的一條對稱軸，可得 2ω•

π

6

-

π

3

=kπ，k∈z，ω=3k+1，
∴ω=1．
（Ⅱ）由（1）可得 f（x）=b+

a

2

+acos（2x-

π

3

），再根據x∈[-

π

3

，

π

3

]，可得 2x-

π

3

∈[-π，

π

3

]，故cos（2x-

π

3

）∈[-1，1]．
再由函數f（x）的值域為[-1，5]，可得 ①

a＞0 b+ a 2 =5 b- a 2 =-1

，或②

a＜0 b+ a 2 =-1 b- a 2 =5

．
由①可得

a=6 b=2

，解②可得

a=-6 b=2

．
綜上可得

a=6 b=2

，或  

a=-6 b=2

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角函數的圖象和性質應用，屬于中檔題．