Question

【題目】已知函數的定義域是且，，當時，.

（1）求證：是奇函數；

（2）求在區間上的解析式；

（3）是否存在正整數，使得當時，不等式有解？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）， （3）不存在正整數滿足題意，證明見解析

【解析】

（1）由已知，得，進而結合，可得，結合奇函數的定義，即可得證；

（2）由，時，，結合已知．結合（1）中結論可得所求解析式；

（3）由（2）的結論及指數的運算性質，可將不等式轉化為二次不等式的形式，進而分析出對應函數在區間，上的單調性，即可得到結論．

解：（1）證明：由，得，

由得，

故是奇函數；

（2）當，時，，

，

而，

；

（3）當，，時，，，

，

因此，

不等式即為，

即．

令，對稱軸為，

因此函數在，上單調遞增，

因為，又為正整數，

所以，因此在，上恒成立，

因此不存在正整數使不等式有解．