Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中點(diǎn)．
（1）求AC₁與平面B₁BCC₁所成角的正切值；
（2）求證：AC₁∥平面B₁DC；
（3）已知E是A₁B₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，記PB₁=x．點(diǎn)P從E出發(fā)，沿著三棱柱的棱，按照E→A₁→A的路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，求這一過(guò)程中三棱錐P-BCC₁的體積表達(dá)式V（x）．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱的性質(zhì)證明∠AC₁B為AC₁與平面B₁BCC₁所成角，在直角三角形中求出此角的正切值．
（2）設(shè)B₁C的中點(diǎn)為F，由三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)可得，DF∥AC₁，從而證明AC₁∥平面B₁DC．
（3）設(shè)PB₁=x，△BCC₁的面積的值易求，當(dāng)點(diǎn)P從E點(diǎn)出發(fā)到A₁點(diǎn)時(shí)，找出棱錐的高，計(jì)算體積；當(dāng)點(diǎn)P從A₁點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，找出棱錐的高，計(jì)算體積．

解答：解：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥面ABC，
∴B₁B⊥AB．又∵AB⊥BC，∴AB⊥面BCC₁B₁．（2分）
連接BC₁，則∠AC₁B為AC₁與平面B₁BCC₁所成角．（3分）
依題設(shè)知，BC₁=2

2

，在Rt△ABC₁中，tan∠AC1B=

AB

BC1

=

2

2 2

=

2

2

.（5分）
（2）如圖，連接DF，在△ABC₁中，∵D、F分別為AB、BC₁，
的中點(diǎn)，

∴DF∥AC₁，又∵DF?平面B₁DC，AC₁?平面B₁DC，
∴AC₁∥平面B₁DC．（10分）
（3）PB₁=x，S△BCC1=2.
當(dāng)點(diǎn)P從E點(diǎn)出發(fā)到A₁點(diǎn)，即x∈[1，2]時(shí)，由（1）同理可證PB₁⊥面BB₁C₁C，
∴VP-BCC1=

1

3

s△BCC1×PB1=

2x

3

.
當(dāng)點(diǎn)P從A₁點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，即x∈[2，2

2

]時(shí)，
VP-BCC1=

1

3

S△BCC1×AB=

4

3

．
∴三棱錐P-BCC₁的體積表達(dá)式V(x)=

2x 3 ，x∈[1，2] 4 3 ，x[2，2 2 ].

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)與面成的角、線(xiàn)面平行的性質(zhì)，椎體體積的求法，體現(xiàn)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．