Question

（2012•廣州一模）設雙曲線C₁的漸近線為y=±

3

x，焦點在x軸上且實軸長為1．若曲線C₂上的點到雙曲線C₁的兩個焦點的距離之和等于2

2

，并且曲線C₃：x²=2py（p＞0是常數）的焦點F在曲線C₂上．
（1）求滿足條件的曲線C₂和曲線C₃的方程；
（2）過點F的直線l交曲線C₃于點A、B（A在y軸左側），若

AF

=

1

3

FB

，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析：（1）雙曲線C₁的漸近線為y=±

3

x，焦點在x軸上且實軸長為1，可得曲線C₁的焦點坐標，設曲線C₂方程，利用曲線C₂上的點到雙曲線C₁的兩個焦點的距離之和等于2

2

，可求方程；曲線C₃：x²=2py（p＞0是常數）的焦點F在曲線C₂上，可求曲線C₃的方程；
（2）設直線l的方程，與拋物線方程聯立，求出兩根，利用向量，即可求得直線的斜率，從而可得直線的傾斜角．

解答：解：（1）雙曲線C₁滿足：

b1 a1 = 3 2a1=1

…（1分），解得

a1= 1 2 b1= 3 2

…（2分）
則c1=

a 2 1 + b 2 1

=1，于是曲線C₁的焦點F₁（-1，0）、F₂（1，0）…（3分），
曲線C₂是以F₁、F₂為焦點的橢圓，設其方程為

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1(a2＞b2＞0)…（4分），
解

2a2=2 2 a 2 2 - b 2 2 =1

得

a2= 2 b2=1

，即C₂：

x2

2

+y2=1…（5分），
依題意，曲線C3：x2=2py(p＞0)的焦點為F（0，1）…（6分），
于是

p

2

=1，所以p=2，曲線C3：x2=4y…（7分）
（2）由條件可設直線l的方程為y=kx+1（k＞0）…（8分），
由

x2=4y y=kx+1

得x²-4kx-4=0，△=16（k²+1）＞0，
由求根公式得：x1=2k-2

k2+1

，x2=2k+2

k2+1

…（9分），
由

AF

=

1

3

FB

得-3x₁=x₂…（10分），于是-3(2k-2

k2+1

)=2k+2

k2+1

，解得k2=

1

3

…（11分），
由圖知k＞0，∴k=

3

3

，
∴直線l的傾斜角為

π

6

…（12分）

點評：本題考查曲線的方程，考查雙曲線的幾何性質，考查直線與拋物線的位置關系，聯立方程是關鍵．