Question

（2012•廣州一模）已知

e1

=(

3

，-1)，

e2

=(

1

2

，

3

2

)，若

a

=

e1

+(t2-3)•

e2

，

b

=-k•

e1

+t•

e2

，若

a

⊥

b

，則實數(shù)k和t滿足的一個關(guān)系式是

t³-3t-4k=0

，

k+t2

t

的最小值為

-

7

4

．

Answer 1

分析：利用題設(shè)條件，先求出向量

a

和

b

，再由

a

⊥

b

，利用

a

•

b

=0，得到實數(shù)k和t滿足的一個關(guān)系式；由t³-3t-4k=0，得到k=

t3-3t

4

，代入

k+t2

t

，得到以t為自變量的二次函數(shù)，利用配方法能求出

k+t2

t

的最小值．

解答：解：∵

e1

=(

3

，-1)，

e2

=(

1

2

，

3

2

)，
∴若

a

=

e1

+(t2-3)•

e2

=（

3

，-1）+（

1

2

t2-

3

2

，

3

2

t2-

3 3

2

）=（

1

2

t2-

3

2

+

3

，

3

2

t2-

3 3

2

-1），

b

=-k•

e1

+t•

e2

=(-

3

k，k)+（

1

2

t，

3

2

t）=（

1

2

t-

3

k，

3

2

t+k），
∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=（

1

2

t2-

3

2

+

3

）•（

1

2

t-

3

k）+（

3

2

t2-

3 3

2

-1）•（

3

2

t+k）
=

1

4

t3-

3

4

t+

3

2

t-

3

2

kt2+

3 3

2

k-3k+

3

4

t3-

9

4

t-

3

2

t+

3

2

kt2-

3 3

2

k-k
=t³-3t-4k=0，
∵t³-3t-4k=0，
∴k=

t3-3t

4

，
∴

k+t2

t

=

t3-3t 4 +t2

t

=

1

4

t2+t-

3

4

=

1

4

(t+2)2-

7

4

，
∴

k+t2

t

的最小值為-

7

4

．
故答案為：t³-3t-4k=0，-

7

4

．

點評：本題考查利用數(shù)量積判斷兩個向量垂直關(guān)系的應(yīng)用，計算繁瑣，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意換無法和配方法的靈活運用．