Question

第8題的題干為：如圖，已知正方形的邊長為1，在正方形ABCD中有兩個相切的內切圓．
（1）求這兩個內切圓的半徑之和；
（2）當這兩個圓的半徑為何值時，兩圓面積之和有最小值？當這兩個圓的半徑為何值時，兩圓面積之和有最大值？
變式（1）在第8題中，若正方形改為矩形，情況又如何？
（2）在第8題中，若正方形改為正方體，圓改為球，情況如何？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知三角形CEO₁為等腰直角三角形，根據勾股定理得到CO₁等于 R₁；同理得到AO₂等于 R₂，根據線段AC等于AO₂+O₂O₁+O₁C，將各自的值代入即可表示出AC的長，又根據正方形的邊長為1，利用勾股定理求出AC的長度，兩者相等即可求出兩半徑之和的值；
（2）根據兩圓的半徑，利用圓的面積公式表示出兩圓的面積之和，由（1）中求出的兩半徑之和表示出R₂，代入兩圓的面積之和的式子中消去R₂，得到關于R₁的關系式，根據完全平方大于等于0求出兩圓面積之和的最小值時，兩半徑的值即可．
變式：（1）設AB=a，AD=b，作直角△O₁O₂G，利用勾股定理可得（R₁+R₂）²=[b-（R₁+R₂）]²+[a-（R₁+R₂）]²解得R₁+R₂=（a+b），表示出兩圓面積之和S=πR₁²+πR₂²，當R₁或R₂=min（a，b）時，S有最大值．
（2）球O₁和球O₂外切，球O₁和以C₁為頂的三面角的三個面相切，球O₂和以A為頂的三面角的三個面相切（設棱長為1），求出兩球的體積和，然后利用二次函數求出最大值即可．
解答：解：（1）由圖知∠CEO₁=90°，CE=O₁E=R₁
∴2R₁²=CO₁²，CO₁=．
同理AO₂=．
∴AC=AO₂+O₂O₁+O₁C
=（R₁+R₂）+（R₁+R₂）
=（R₁+R₂），
又∵AB=1，∴AC=
∴（R₁+R₂）=，
∴R₁+R₂=；
（2）兩圓面積之和S=πR₁²+πR₂²
=
=
=．
∴當R₁=，即R₁=R₂時S為最小．
因R₁的最大值為R₁=，這時R₂為最小值，其值為R₂=；
又當R₂=時，R₁有最小值R₁=，
故當R₁=（此時R₂=）或R₁=（此時R₂=）時，S有最大值．
變式解：（1）如圖，ABCD為矩形．
設AB=a，AD=b
作直角△O₁O₂G則有
（R₁+R₂）²=[b-（R₁+R₂）]²+[a-（R₁+R₂）]²
解之，得R₁+R₂=（a+b）
但∵a+b＞R₁+R₂；，
∴R₁+R₂=（a+b）
（2）因兩圓面積之和S=πR₁²+πR₂²

當R₁或R₂=min（a，b）時，S有最大值．
如圖，球O₁和球O₂外切，
球O₁和以C₁為頂的三面角的三個面相切，
球O₂和以A為頂的三面角的三個面相切（設棱長為1）
同前類似可計算出AO₂=R₂，C₁O₁=R₁，R₁+R₂=．
兩球的體積和V=







注：在（1）中的a，b必須限制為b＜a≤2b，否則在矩形內之二圓無法相切．
點評：此題考查學生掌握正方形的性質，掌握直線與圓相切時所滿足的條件以及兩圓外切時所滿足的條件，是一道多知識的綜合題．變式題主要考查了長方形的兩個內切圓，以及正方體的內切球和球的性質，同時考查了空間想象能力，屬于中檔題．