Question

第8題的題干為：如圖，已知正方形的邊長為1，在正方形ABCD中有兩個相切的內切圓．
（1）求這兩個內切圓的半徑之和；
（2）當這兩個圓的半徑為何值時，兩圓面積之和有最小值？當這兩個圓的半徑為何值時，兩圓面積之和有最大值？
變式（1）在第8題中，若正方形改為矩形，情況又如何？
（2）在第8題中，若正方形改為正方體，圓改為球，情況如何？

Answer 1

分析：（1）由題意可知三角形CEO₁為等腰直角三角形，根據勾股定理得到CO₁等于

2

R₁；同理得到AO₂等于

2

R₂，根據線段AC等于AO₂+O₂O₁+O₁C，將各自的值代入即可表示出AC的長，又根據正方形的邊長為1，利用勾股定理求出AC的長度，兩者相等即可求出兩半徑之和的值；
（2）根據兩圓的半徑，利用圓的面積公式表示出兩圓的面積之和，由（1）中求出的兩半徑之和表示出R₂，代入兩圓的面積之和的式子中消去R₂，得到關于R₁的關系式，根據完全平方大于等于0求出兩圓面積之和的最小值時，兩半徑的值即可．
變式：（1）設AB=a，AD=b，作直角△O₁O₂G，利用勾股定理可得（R₁+R₂）²=[b-（R₁+R₂）]²+[a-（R₁+R₂）]²解得R₁+R₂=（a+b）-

2ab

，表示出兩圓面積之和S=πR₁²+πR₂²，當R₁或R₂=

1

2

min（a，b）時，S有最大值．
（2）球O₁和球O₂外切，球O₁和以C₁為頂的三面角的三個面相切，球O₂和以A為頂的三面角的三個面相切（設棱長為1），求出兩球的體積和，然后利用二次函數求出最大值即可．

解答：解：（1）由圖知∠CEO₁=90°，CE=O₁E=R₁
∴2R₁²=CO₁²，CO₁=

2

R1．
同理AO₂=

2

R2．
∴AC=AO₂+O₂O₁+O₁C
=

2

（R₁+R₂）+（R₁+R₂）
=(

2

+1)（R₁+R₂），
又∵AB=1，∴AC=

2

∴(

2

+1)（R₁+R₂）=

2

，
∴R₁+R₂=

2

2 +1

=2-

2

；
（2）兩圓面積之和S=πR₁²+πR₂²
=π(R12+R22)=π[R12+(2-

2

-R1)2]
=π[2R12-2(2-

2

)R1+(2-

2

)2]
=2π[(R1-

2- 2

2

)2+

(2- 2 )2

4

]．
∴當R₁=

2- 2

2

，即R₁=R₂時S為最小．
因R₁的最大值為R₁=

1

2

，這時R₂為最小值，其值為R₂=(2-

2

)-

1

2

=

3

2

-

2

；
又當R₂=

1

2

時，R₁有最小值R₁=

3

2

-

2

，
故當R₁=

1

2

（此時R₂=

3

2

-

2

）或R₁=

3

2

-

2

（此時R₂=

1

2

）時，S有最大值．
變式解：（1）如圖，ABCD為矩形．
設AB=a，AD=b
作直角△O₁O₂G則有
（R₁+R₂）²=[b-（R₁+R₂）]²+[a-（R₁+R₂）]²
解之，得R₁+R₂=（a+b）±

2ab

但∵a+b＞R₁+R₂；，
∴R₁+R₂=（a+b）-

2ab

（2）因兩圓面積之和S=πR₁²+πR₂²

=2π[(R1- a+b- 2ab 2 )2+ (a+b- 2ab )2 4 ]. ∴當R1= a+b- 2ab 2 ，即R1=R2時，S有最小值.

當R₁或R₂=

1

2

min（a，b）時，S有最大值．
如圖，球O₁和球O₂外切，
球O₁和以C₁為頂的三面角的三個面相切，
球O₂和以A為頂的三面角的三個面相切（設棱長為1）
同前類似可計算出AO₂=

3

R₂，C₁O₁=

3

R₁，R₁+R₂=

3- 3

2

．
兩球的體積和V=

4

3

πR13+

4

3

πR23

= 4 3 π(R13+R23)= 4 3 π(R1+R2)(R12-R1R2+R22)

= 4 3 π• 3- 3 2 [(R1+R2)2-3R1R2]

= 2(3- 3 )π 3 {( 3- 3 2 )2-3[( 3- 3 2 )R1-R12]}

= 2(3- 3 )π 3 {( 3- 3 2 )2-3[( 3- 3 4 )2-( 3- 3 4 -R1)2]}

= 2(3- 3 )π 3 {[( 3- 3 2 )2-3( 3- 3 4 )2]+3( 3- 3 4 -R1)2}．

∴當R1= 3- 3 4 ，即R1=R2時，V有最小值．

當R2= 1 2 ，R1= 3- 3 2 - 1 2 = 2- 3 2 (或R1= 1 2 ，R2= 2- 3 2 )時，V有最大值

注：在（1）中的a，b必須限制為b＜a≤2b，否則在矩形內之二圓無法相切．

點評：此題考查學生掌握正方形的性質，掌握直線與圓相切時所滿足的條件以及兩圓外切時所滿足的條件，是一道多知識的綜合題．變式題主要考查了長方形的兩個內切圓，以及正方體的內切球和球的性質，同時考查了空間想象能力，屬于中檔題．