Question

（1）若四邊形ABCD的對角線AC將四邊形分成面積相等的兩個三角形，證明直線AC必平分對角線BD．
（2）寫出（1）的逆命題，這個逆命題是否正確？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）證明BD被AC平分，即證明OB=OD，結合同底等高的三角形面積相等這一性質，不難想到要證明線段相等，可以證明線段所在的三角形全等．
（2）將（1）的思路進行倒推，不難解決本小題．
解答：解：（1）證：S_△ABC=S_△ADC′
且△ABC與△ADC有同底AC，
∴兩高線相等：BE=DF
設AC與BD交于點O，
則Rt△BOE≌Rt△DOF，∴OB=OD，即AC平分BD．

（2）逆命題：若四邊形ABCD的對角線AC平分對角線BD，
則AC必將四邊形分成兩個面積相等的三角形這個逆命題是正確的．
證明如下：在圖中，由于OB=OD，∠BOE=∠DOF
，∠BEO=∠DFO=Rt∠，∴△BOE≌△DOF．
∴BE=DF，即兩高線相等．∴S_△ABC=AC•BE=AC•DF=S_△ADC'．
點評：證明線段相等是平面幾何常見題型，常用的方法有：利用平行線等分線段定理、等腰三角形的性質、全等三角形對邊相等、平行四邊形對角線互相平分等，同學們要注意平時多進行總結．