Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=1，D₁是線段A₁B₁上一動點（可以與A₁或B₁重合）．過D₁和CC₁的平面與AB交于D．
（1）若四邊形CDD₁C₁總是矩形，求證：三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱；
（2）在（1）的條件下，求二面角B-AD₁-C的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用四邊形CDD₁C₁總是矩形，證明CC₁⊥平面ABC即可；
（2）求出平面BAD₁、平面ACD₁的一個法向量，再利用向量的夾角公式，我們可以求出二面角B-AD₁-C的取值范圍．

解答：（1）證明：∵D₁是線段A₁B₁上一動點（可以與A₁或B₁重合）．過D₁和CC₁的平面與AB交于D，四邊形CDD₁C₁總是矩形，
∴CC₁⊥平面ABC
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱…（5分）；
（2）解：建立如圖所示的直角坐標系，則A（0，-

3

2

，0），C（

3

2

，0，0），
設D（0，a，0），則D₁（0，a，1），a∈[-

3

2

，

3

2

]，
顯然平面BAD₁的一個法向量為

m

=(1，0，0)，
設平面ACD₁的一個法向量為

n

=(x，y，z)
∵

AC

=(

3

2

，

3

2

，0)，

CD1

=( -

3

2

，a，1)
∴

n • AC =0 n • CD1 =0

∴

3 2 x+ 3 2 y=0 - 3 2 x+ay+z=0

令x=1，∴y=-1，z=a+

3

2

∴平面ACD₁的一個法向量

n

=(1，-1，a+

3

2

)，于是

m

•

n

=1，
設二面角B-AD₁-C的平面角為θ，∴cosθ=

m • n

| m || n |

═

1

| m || n |

∵|

m

|=1，|

n

|²=2+（a+

3

2

）²∈[2，5]，
∴cosθ∈[

5

5

，

2

2

]，
所以θ∈[arccos

5

5

，

π

4

]…（12分）

點評：三棱柱為直棱柱的條件是側棱與底面垂直，（2）問研究二面角的平面角，利用向量的方法，減少了輔助線的添加，將立體幾何問題代數化，屬于中檔題．