Question

【題目】下圖為某倉庫一側墻面的示意圖，其下部是矩形ABCD，上部是圓弧AB，該圓弧所在的圓心為O，為了調節倉庫內的濕度和溫度，現要在墻面上開一個矩形的通風窗EFGH（其中E，F在圓弧AB上，G，H在弦AB上）.過O作，交AB 于M，交EF于N，交圓弧AB于P，已知（單位：m），記通風窗EFGH的面積為S（單位：）

（1）按下列要求建立函數關系式：

（i）設，將S表示成的函數；

（ii）設，將S表示成的函數；

（2）試問通風窗的高度MN為多少時，通風窗EFGH的面積S最大？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4.5；

【解析】

試題（1）在Rt△OFN中用表示出NF和ON；用x表示出ON，再利用勾股定理求出NF；（2）用導數求函數的最值；

試題解析：（1）由題意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．

（i）在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．

在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，

故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ－3.5）＝10sinθ（20cosθ－7）．

即所求函數關系是S＝10sinθ（20cosθ－7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．

（ii）因為MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．

在Rt△ONF中，NF＝＝＝．

在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，

故S＝EF×FG＝x．

即所求函數關系是S＝x，0＜x＜6.5．

（2）方法一：選擇（i）中的函數模型：

令f（θ）＝sinθ（20cosθ－7），

則f ′（θ）＝cosθ（20cosθ－7）＋sinθ（－20sinθ）＝40cos2θ－7cosθ－20．

由f ′（θ）＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．

因為0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．

設cosα＝，且α為銳角，

則當θ∈（0，α）時，f ′（θ）＞0 ，f（θ）是增函數；當θ∈（α，θ0）時，f ′（θ）＜0 ，f（θ）是減函數，

所以當θ＝α，即cosθ＝時，f（θ）取到最大值，此時S有最大值．

即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m時，通風窗的面積最大．

方法二：選擇（ii）中的函數模型：

因為S＝，令f（x）＝x2（351－28x－4x2），

則f ′（x）＝－2x（2x－9）（4x＋39）．

因為當0＜x＜時 ，f ′（x）＞0，f（x）單調遞增，當＜x＜時，f ′（x）＜0，f（x）單調遞減，

所以當x＝時，f（x）取到最大值，此時S有最大值．

即MN＝x＝4.5m時，通風窗的面積最大．