Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，點為棱的中點，點為線段上一動點.

（Ⅰ）求證：當點為線段的中點時，平面；

（Ⅱ）設，試問：是否存在實數，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，求出這個實數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（2）或

【解析】試題分析：

（Ⅰ）連、，由題意可證得．又在平面，從而可得平面．（Ⅱ）由題意可建立空間直角坐標系，結合條件可得，從而可得平面的法向量，同理可得平面的法向量，根據解得或，故存在實數滿足條件．

試題解析：

（Ⅰ）證明：連、，

∵點為線段的中點，

∴、、三點共線.

∵點、分別為和的中點，

∴．

在直三棱柱中，，

∴平面，

∴，

又，

∴四邊形為正方形，

∴，

∵、平面，

∴平面，

而，

∴平面.

（Ⅱ）解：以為原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

連接、，設，

∵，

∴，

∴，∴.

∵點在線段上運動，

∴平面的法向量即為平面的法向量，

設平面的法向量為，

由得，令得，

設平面的法向量為，

由得，

令得，取，

由題意得| ，

∴，

解得或.

∴當或時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．