Question

【題目】如圖，某市準備在道路EF的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC，該曲線段是函數 （A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]時的圖象，且圖象的最高點為B（﹣1，2）．賽道的中間部分為長 千米的直線跑道CD，且CD∥EF．賽道的后一部分是以O為圓心的一段圓弧 ．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形ODE區域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧 上，且∠POE=θ，求當“矩形草坪”的面積取最大值時θ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件，得A=2， ．

∵ ，∴ ．

∴曲線段FBC的解析式為 ．

當x=0時， ．又CD= ，∴ ．

（2）解：由（1），可知 ．

又易知當“矩形草坪”的面積最大時，點P在弧DE上，故 ．

設∠POE=θ， ，“矩形草坪”的面積為

= ．

∵ ，故 取得最大值

【解析】（1）依題意，得A=2， ．根據周期公式T= 可得ω，把B的坐標代入結合已知可得φ，從而可求∠DOE的大小；（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面積S關于θ的函數，有 ，結合正弦函數的性質可求S取得最大值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角函數的最值(函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，)．