Question

【題目】已知函數．

（1）證明在區間內有且僅有唯一實根；

（2）記在區間內的實根為，函數，若方程在區間有兩不等實根，證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）構造函數，利用導數證明在上單調遞增，再結合零點定理即可得證；

（2）先理解題意，為取小函數，先確定函數在，的單調性，

再將證明命題轉化為證明命題，即證，再構造函數利用導數證明即可.

（1）證明：，定義域為，而．故，即在上單調遞增，

又，而在上連續，故在區間有且僅有唯一實根．

（2）由（1）知，當時，，且存在，使得

，故，

當時，，因而單增；當時，，因而遞減；則． 要證：，只要證 ，因為 ，只要證，即證， 而在上遞減，故可證，又由，即證，即，

記，，

記，當時，；時，故，，從而，因此，

即單增，從而時，，即，

故，所以，

故命題得證．