Question

【題目】如圖，在四面體中，,.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若與平面所成的角為，點是的中點，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).

【解析】分析：（Ⅰ）由勾股定理可得， 則，，進一步可得， 則.

（Ⅱ）結合（Ⅰ）的結論和幾何關系，以B為原點，建立空間直角坐標系，則平面BDE的法向量為，且是平面CBD的一個法向量．結合空間向量計算可得二面角的大小為．

詳解：（Ⅰ）由已知得，

，

又，，

，

，

又，，

，

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB與平面BCD所成的角為，即，

設BD＝2，則BC＝2，在中，AB＝4，

由（Ⅰ）中，得平面ABC⊥平面ABD，在平面ABD內，過點B作，則平面ABC，以B為原點，建立空間直角坐標系，

則，，，

，由，

，

得，

∴，，

設平面BDE的法向量為，

則，取，解得，

∴是平面BDE的一個法向量，

又是平面CBD的一個法向量．

設二面角的大小為，易知為銳角，

則，

∴，即二面角的大小為．