Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，已知橢圓：（），，，，是橢圓上的四個動點，且，，線段與交于橢圓內一點.當點的坐標為，且，分別為橢圓的上頂點和右頂點重合時，四邊形的面積為4.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）證明：當點，，，在橢圓上運動時，（）是定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值

【解析】

【試題分析】（1）依據題設條件建立方程組，然后解方程組求出，；（2）先設四點坐標分別為，，，，然后將點，的坐標代入橢圓方程得：，.再兩式相減得：，求得，進而得到，①

將點，的坐標代入橢圓方程，同理可得：，最后設（），得，即，即，，②。再設，同理可得：，，③。由①②③得： ，

整理得： ，進而得到，從而求出。

解：（Ⅰ）由題可知：，解得，，

所以橢圓的標準方程.

（Ⅱ）設，，，，

將點，的坐標代入橢圓方程得：，.

兩式相減得：，

∵，∴，①

將點，的坐標代入橢圓方程，同理可得：，

設（），得，

即，即，，②

設，同理可得：，，③

由①②③得： ，

整理得： ，

即，

∵，，∴，

所以是定值.